--- note_type: source state: seed created: 2026-10-08 aliases: - 沪教版教参选择性必修第二册·第6章 tags: - 数学/教参 - 数学/沪教版 topics: - 上海高考数学 - 教参 source: 沪教版教参选择性必修第二册.md（原文件第 773–1221 行） --- # 第 6 章 计数原理 > 拆分自 [[沪教版教参选择性必修第二册]] · **第 6 章 计数原理**（原文件第 773–1221 行）。 > 正文、公式与图片引用逐字保留；标题按语义重算层级，OCR 噪声前缀（页码/页边框）已清理。 ## 一、本章概述 ### 总体要求 计数问题是数学中的研究对象之一, 乘法 (分步) 原理和加法 (分类) 原理是解决计数问题最基本的方法. 排列与组合是学习概率理论的基础知识, 由于其思维方法的新颖性和独特性, 也是培养学生思维能力的不可或缺的素材. 作为初中多项式乘法公式的推广, 二项式定理不仅使组合等内容得到深化, 也为后面学习概率分布打下基础. 在小学和初中, 学生已经掌握了枚举、分类讨论等基本的计数方法, 学习了多项式的乘法公式. 本章旨在将这些基本的计数方法和乘法公式进行提炼,归纳出一般的计数方法和多项式展开式的基本规律, 并使用这些工具研究概率等方面的问题. 高中阶段学习的计数方法是小学和初中阶段所学的计数方法的提升和抽象. 限于学生的知识水平, 本章不强调理论推导, 而是通过具体生活和数学中的例子归纳总结两个计数原理(加法原理和乘法原理),并对不同的计数现象进行剖析,从而总结出两种基本的计数模型一一排列与组合. 进一步地, 将排列与组合的知识运用到二项式定理或概率中, 使学生对计数原理等工具的数学价值形成更深的认识. 这样的学习过程, 遵循的是从具体到抽象的思路, 符合学生的认知规律, 并有助于培养学生的数学抽象素养. ### 课时安排建议 本章的课时安排建议为 11+1,共计 12 课时. 建议如下:
章节名建议课时具体课时分配
6.1 乘法原理与加法原理2乘法原理 1 课时
加法原理 1 课时
6.2 排列3排列的定义 1 课时
排列数的计算 1 课时
排列数的性质 1 课时
6.3 组合3组合的定义 1 课时
组合数的计算 1 课时
组合数的性质 1 课时
6.4 计数原理在古典概率中的应用1计数原理在古典概率中的应用 1 课时
6.5 二项式定理2杨辉三角和二项式定理 1 课时
二项式定理的应用——组合数的性质 1 课时
复习与小结1
### 内容编排与特色 本章内容共分为 5 节, 分别是 “6.1 乘法原理与加法原理” “6.2 排列” “6.3 组合” “ 6.4 计数原理在古典概率中的应用" “6.5 二项式定理”. “6.1 乘法原理与加法原理”从学生熟悉的计数问题中提炼出乘法原理和加法原理; 限于学生的知识基础, 本节不强调理论推导, 而是从具体问题中归纳一般规律, 符合学生的认知规律. 另外, 本教材在同一节中引入两个原理, 这样比较两个原理异同的处理可使认识更深刻, 体现认识问题的全面性. “6.2 排列”遵循“从具体到抽象”的处理方法,作为对两个计数原理的一个基本运用,分别介绍了“排列的定义”“排列数的计算”和“排列数的性质”. 这部分教材内容的特色是突出了与排列数性质相关的问题, 旨在加深学生对排列数公式的理解, 提高学生的数学运算素养. “ 6.3 组合”的处理方式与 6.2 节相同,分别介绍了“组合的定义”“组合数的计算” 和 “组合数的性质”。这部分教材内容的特色是突出了与组合数性质相关的问题,旨在加深学生对组合数公式的理解, 提高学生的数学运算素养, 为进一步学习二项式定理和概率分布作好铺垫. "6.4 计数原理在古典概率中的应用"是根据课程标准的指导和教学的实际需要而增加的一节内容. 这部分内容旨在完善学生的知识体系,加深学生对计数原理及其应用的理解, 也为进一步学习概率理论作好准备. “ 6.5 二项式定理”从学生熟悉的多项式乘法开始, 寻找一般性的规律, 并用数学归纳法对二项式定理加以证明. 此外, 在课后阅读中还利用组合的定义和多项式运算法则进行了证明. 这样处理的目的是加深学生对两个计数原理和排列组合的理解, 提高学生的数学抽象和逻辑推理素养. 为突出对数学对象本质的理解, 减少非主干知识的干扰, 本节删去了原教材中“二项式系数”的定义及一些有关的讨论. ### 教学提示 教师应梳理本章中原理和方法之间的关系,引导学生的思维从具体到抽象, 提高学生使用数学符号的能力. 两个原理 (乘法原理和加法原理) 和两种模型 (排列与组合)的引入, 都应从学生熟悉的情境开始, 分析问题的本质属性, 引导学生进行合理的数学推理. 教师要全盘考虑问题的难度, 避免出现超出学生思考能力的计数问题和过于繁杂的问题; 鼓励学生使用信息技术学习、探索和解决问题. 例如, 利用计算器观察排列数与组合数的变化规律, 探索排列数与组合数的关系, 等等. ### 评价建议 在过程性评价中, 应关注学生的思维. 对于相同的计数问题, 不同的学生可能有不同的思考方式,呈现出不同的解决方法,教师不应把教学重心仅仅停留在“表达形式”的层面上,而应该关注学生的思维活动,对学生的书面表达和口头表达也应加以密切的关注, 避免学生在计算过程中出现分类不清、重复计算、思考不全面等现象. 在终结性评价中, 应更多地从基本方法的掌握层面上开展考查, 避免技巧性强、 分类情况较多等繁杂问题. #### 二、教材分析与教学建议 ##### 6.1 乘法原理与加法原理 ### 教学重点 在枚举法计数的基础上, 利用生活和数学中的例子将计数方法上升为乘法原理和加法原理这两个基本原理; 明确这两个原理之间的差异, 注重对问题的剖析, 加强分析问题的条理性; 在实际情境中, 能够根据不同的需要选用适当的原理进行计数. ### 内容分析 计数是基本的数学活动之一, 在问题涉及的数量较小的情况下, 可以使用枚举法等方法进行. 而对于一般的计数问题, 则需要总结计数规律, 形成一定的计数方法. 乘法原理和加法原理是两个基本的计数原理, 所有的计数活动都是从这两个原理派生而来的. 这两个原理分别对应了分步与分类这两个基本的数学活动, 在明确活动类型的基础上, 要选用适当的原理进行计数. 例 1 旨在使学生明确“做完一件事情”的含义,只有每层分别取了 1 本书,才可以说“完成取书”这样一件事情. 在实际的计算中,步骤的顺序并不是主要因素. 在教学中, 教师要引导学生完整描述 “取书”这样一件事情. 习题 6.1A 组的第 1 至 4 题是利用乘法原理解决的问题. 例 2 是常见的计数问题, 为学习例 4 和例 6 作准备. 例 3 旨在说明, 对于一个计数问题, 要从适当的角度 (如本题利用的是正整数的素因数分解)进行考虑. 本题的解决需要学生明确素因数分解、正约数等名词的含义. 习题 6.1B 组的第 4 题是本题的延伸; 习题 6.1B 组的第 1 题是一个与多项式展开式有关的项数问题, 为此必须明确“展开式中的项”的含义. 例 4 和例 6 是两个有限制条件的计数问题, 旨在说明在计数活动中, 往往要优先考虑限制条件, 在明确限制条件类别(与分类有关, 还是与分步有关)的基础上, 选用合适的计数原理进行计算. 习题 6.1A 组的第 5、6 题和习题 6.1B 组的第 3 题是三个有限制条件的计数问题, 其中习题 6.1B 组的第 3 题可根据学生的实际情况决定是否选用. 例 5 是一个综合运用乘法原理与加法原理的问题, 旨在说明在这类问题中, 一般从分类开始, 将问题分解成若干“类”, 而在每一类的计算中, 则使用乘法原理或加法原理进行计算. 习题 6.1B 组的第 2 题是一个与电路相关的问题, 需要学生采取类似的方式分析求解. ### 注意事项 使用“乘法原理”的关键在于合理的“分步”. 计数时,不同的步骤之间应互相独立, 即每个步骤所采用的方法, 应该不影响其后续步骤所采用方法的选择. 例如, 考虑问题“将 4 封不同的信 $a\text{、}b\text{、}c\text{、}d$ 任意投到甲、乙、丙 3 个信箱中,有多少种不同的投法”, 正确的计算方法是依次考虑每封信所在的信箱, 而如果分别考虑每个信箱所投放的信, 则信箱甲的投放情况会影响其他信箱的投放情况. 使用“加法原理”的关键在于合理的“分类”,要做到不重复、不遗漏. ### 教学建议 在教学过程中, 应当突出对两个原理本质的理解, 淡化计数的技巧. 在涉及计数原理或排列与组合的综合问题时, 应避免过分繁杂的问题. 对于典型的计数问题, 重在剖析问题的思考角度, 而不是将计算方法和盘托出. 计数问题是与学生的生活实际联系比较密切的数学问题, 在教学过程中, 应充分利用学生熟悉的计数的例子, 详细分析问题的思考角度和计算方法, 提升学生对原理的理解. #### 6.2 排列 ### 教学重点 明确排列和排列数的概念, 掌握排列数的计算方法, 能进行与排列数有关的简单恒等式的推导和证明. ### 内容分析 排列是基本的计数模型之一, 是乘法原理的一个最主要的应用, 学习排列是对学生已有的计数经验的理论提升. 对这部分内容的理解, 既需要学生认识乘法原理的本质, 熟练掌握排列数的计算, 也要熟练运用符号语言. 这部分内容的学习效果直接影响到后面对组合的学习, 在教学中, 教师需要处理好问题难度和典型性之间的关系. 例 1 旨在利用枚举法,使学生了解“排列”的含义,明确其核心特点为“元素之间的相对顺序”. 通过这个例子, 学生也能初步体会如何计算满足一定条件的排列数, 为后面学习排列数的计算作好准备. 练习 6.2(1) 的第 1、2 题和习题 6.2A 组的第 1、2 题均是可以使用枚举法解决的排列问题. 例 2 和例 3 提供了解决排列问题的常用方法一一对应, 一个排列可以对应为将若干个不同的元素放在有编号的位子上. 对应也是解决计数问题的常用方法, 不过限于学生的知识基础, 教材中只涉及简单的对应. 练习 6.2(2) 的第 1、2 题和习题 6.2A 组的第 3 至 5 题的处理方法本质上均可以看作对应. 例 4 是有限制条件的排列问题. 构造三位正整数时, 需考虑到百位数不能为 0 , 因此,可以先考虑受限制的位子的排法,再考虑其他位子元素的排列；或者先考虑受限制的元素的排法, 再考虑其他位子元素的排列. 另一方面, 本题提供了从反面思考问题的角度, 这也是解决计数问题的常用策略. 练习 6.2(2) 的第 1、2 题, 习题 6.2A 组的第 6 题, 习题 6.2B 组的第 4 至 6 题是例 4 的延伸. 例 5 是两种常见的排列问题: 给定元素间隔排列或相邻排列. 练习 ${6.2}\left( 2\right)$ 的第 2 题、习题 6.2B 组的第 2 题是这两种方法的应用和深化. 例 6 是一个综合运用排列与加法原理的问题. 旨在说明, 在综合使用计数方法求解的问题中, 一般先从分类开始, 将问题分解成若干“类”, 而在每一类的计算中, 则使用相应的计数模型或计数原理. 例 7、例 8、例 9 旨在明确排列数的表达形式和表达规律,并涉及排列数的化简计算和简单恒等式的证明. 练习 6.2(3) 的第 1、2 题, 习题 6.2A 组的第 7 至 9 题是对排列数计算公式的应用. ### 注意事项 在计数过程中, “对应”是一种常用的方法. 在学习计数原理之初, 教师可以通过一些简单的例子说明“对应”的方法, 但要控制问题的难度. 例 2 和排列数的推导过程就使用了“对应”方法. 对于排列问题, 应关注对计数过程的剖析, 突出乘法原理的本质. 对一个问题应尽可能从多种角度进行分析, 比较不同计数过程的异同, 分析可能产生错误结果的原因(参见例 4 和例 5). 要注意对常用方法和典型问题的总结, 如 “从反面计算” “间隔排列” “相邻排列”等. ### 教学建议 在教学过程中, 应当突出对排列本质的理解, 加强对典型问题的剖析, 而淡化技巧, 避免繁杂的问题. 对于典型的排列问题, 可以从不同的角度进行考虑, 采用不同的处理方式, 从而帮助学生理解相关的定义和计算的方法. #### 6.3 组合 ### 教学重点 明确组合和组合数的概念, 掌握组合数的计算方法, 能进行与组合数有关的简单恒等式的推导和证明. ### 内容分析 组合是基本的计数模型之一, 也是乘法原理的一个最主要的应用. 学生对组合的计数经验较少, 对这部分内容的理解, 既需要学生对乘法原理的本质有深层次的认识, 熟练掌握组合数的计算, 也要熟练运用符号语言. 这部分内容的学习效果直接影响到后面学习二项式定理和概率等内容, 在教学中, 教师需要处理好问题难度和典型性之间的关系. 例 1 旨在明确“排列”与“组合”的区别. 例 2 要求利用枚举法分别写出 “每场比赛的两支球队” (组合) 和 “冠亚军的所有可能情况” (排列), 旨在进一步指出, 对于实际的计数问题, 要根据问题的本质属性判断是 “排列问题”还是 “组合问题”. 练习 6.3(1)的第 1、2 题以数学中的例子进一步阐明两者的区别. 例 3 是几何中的组合问题. 配套练习为习题 6.3A 组的第 1 题及习题 6.3B 组的第 3 题. 例 4 是选用学生熟悉的体育比赛赛制编排的组合问题, 是例 2 的延伸. 例 5 和例 6 选用学生熟悉的实际生活中的计数问题, 是对“排列”和“组合”的进一步辨析,综合使用乘法原理与组合计算方法. 练习 6.3(2)的第 2 题,习题 6.3A 组的第 2、3、5 题, 习题 6.3B 组的第 4 题, 均可以作为这两个例子的配套练习. 另外, 习题 6.3A 组的第 4、6 题, 可以作为“从反面计算”的例子. 例 7、例 8、例 9 旨在使学生掌握组合数的一般计算方法. 例 8 作为组合数的两个常用性质, 需要学生熟练掌握, 两种说明方法都需要向学生明示. 配套练习为练习 6.3(3)的第 1、2 题,习题 6.3A 组的第 7 至 9 题,习题 6.3B 组的第 2、5 题. ### 注意事项 “排列”与“组合”的区别不仅仅在于“有序”和“无序”,在一般情况下,综合性计数问题遵循的策略是 “先选择,后排列”,这从组合数的推导过程中就可以看出来. 组合数的推导过程是将 “排列” 问题从两个不同的角度来进行考虑, 一是直接使用乘法原理, 二是先选择元素, 对这些元素进行排列, 再使用乘法原理, 从而得到组合数的计算表达式. 在教学过程中,“先选择,后排列”的计数方法是需要不断向学生强调的,练习 6.3(2)第 2 题的第(2)小题使用的就是 “先选择,后排列”的计数方法. ### 教学建议 在教学过程中, 应当加强对典型问题的剖析, 突出对组合本质的理解, 要淡化技巧, 避免繁杂的问题. 对于典型的组合问题, 可以从不同的角度进行考虑及阐述, 并采用不同的处理方式, 从而帮助学生理解相关的定义和计算的方法. #### 6.4 计数原理在古典概率中的应用 ### 教学重点 明确等可能事件的含义, 了解计数原理和计数模型在古典概率中的应用, 能灵活使用计数方法计算古典概率. ### 内容分析 古典概率的计算是计数原理的主要应用之一. 虽然学生在初中阶段已经接触过概率的计算, 但由于没有掌握完整的计数理论, 只能利用枚举的方法计算涉及数量较小的问题. 本节旨在阐明计数原理的重要应用, 为进一步学习概率理论作准备. 例 1 旨在说明如何利用计数方法计算古典概率. 配套练习为练习 6.4 的第 1、2 题, 习题 6.4A 组的第 1、2 题及习题 6.4B 组的第 3 题. 例 2 和例 3 旨在说明如何利用“对立事件”的方法计算古典概率, 例 3 可以作为进一步研究的例子. 配套练习为练习 6.4 的第 2 题及习题 6.4B 组的第 1、2 题. ### 注意事项 本节是对计数原理的基本运用, 既是对计数原理和排列组合的回顾总结, 又为进一步学习概率知识作准备. 由于只有 1 课时, 因此不可能面面俱到, 教学过程中应突出计数原理的使用. ### 教学建议 在教学过程中. 应当加强对 “等可能事件” 这一概念的辨析, 淡化计算技巧, 避免繁杂的问题. 对于典型的问题, 可以采用不同的处理方式, 从而帮助学生理解相关的定义和计算的方法. #### 6.5 二项式定理 ### 教学重点 理解二项展开式中项的特点, 能够写出二项展开式中指定的项, 掌握与组合数有关的恒等式的简单处理方法, 了解二项式定理的简单应用. ### 内容分析 二项式定理是初中学过的乘法公式的推广. 为了从 ${\left( a + b\right) }^{2}$ 及 ${\left( a + b\right) }^{3}$ 等展开式中寻找一般的展开规律, 学生需要对计数原理、组合的概念与计算有比较深入的理解, 教师可以结合杨辉三角等内容, 对一般规律进行深入浅出的剖析, 尝试从不同角度进行解释. 在研究组合数的性质时, “代入法”是一种常用的方法. 通过本节的学习, 可以为进一步学习概率理论 (随机变量的分布) 作好准备. 例 1 旨在说明二项式定理的应用, 它也可以利用杨辉三角解决. 配套练习为练习 6.5(1)第1题的第(1)小题,习题 6.5A 组的第 1 至 4 题及习题 6.5B 组的第 3、4 题. 例 2 将减法运算改写为相应的加法运算, 旨在说明在求一个二项式的展开式时,需要改写为 ${\left( a + b\right) }^{n}$ 的标准形式. 配套练习为练习 6.5(1)的第 1 题及习题 6.5A 组的第 1 题. 例 3 利用二项式定理证明整除性, 这是二项式定理的一个常见的应用. 配套练习为练习 ${6.5}\left( 1\right)$ 的第 2 题. 例 4 使用换元法和代入法求二项展开式中全部(或部分)项的系数之和,这是研究二项式的展开式的系数满足性质的常用方法. 配套练习为练习 6.5(2) 的第 1 题及习题 6.5B 组的第 1 题. 例 5 和例 6 研究了组合数的单调变化规律和二项式的展开式中各项系数的单调变化规律, 使用的是数列单调性的处理方法. 这部分内容对学生的要求较高, 教师可根据学生的实际情况给予必要的分解处理. 配套练习为练习 6.5 (2) 的第 2 题、习题 6.5A 组的第 4 题及习题 6.5B 组的第 2 题. ### 注意事项 二项式定理的理论基础是 “加法原理”(分类)与 “组合”, 也是 “加法原理” 与 “组合” 的一个重要模型(例如, 在课后阅读材料中, 利用组合的定义和多项式的乘法法则证明二项式定理). 这部分内容的教与学不仅要在展开式规律的发现和证明上, 也要在组合数恒等式的推导过程中发挥数学模型的功能, 但要适当注意问题的难度. 例如, 可以向学生介绍用数学模型 “求包含 $n$ 个元素的集合的子集个数” 来证明 ${\mathrm{C}}_{n}^{0} + {\mathrm{C}}_{n}^{1} + \; {\mathrm{C}}_{n}^{2} + \cdots + {\mathrm{C}}_{n}^{n} = {2}^{n}$ ,但不建议向学生介绍 ${\mathrm{C}}_{n}^{0}{\mathrm{C}}_{m}^{k} + {\mathrm{C}}_{n}^{1}{\mathrm{C}}_{m}^{k - 1} + {\mathrm{C}}_{n}^{2}{\mathrm{C}}_{m}^{k - 2} + \cdots + {\mathrm{C}}_{n}^{k}{\mathrm{C}}_{m}^{0} = {\mathrm{C}}_{n + m}^{k} \; \left( {m\text{、}n\text{、}k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \leq n}\right)$ 的证明. ### 教学建议 在教学过程中,教师应充分利用学生熟悉的 ${\left( a + b\right) }^{2}$ 及 ${\left( a + b\right) }^{3}$ 的展开规律,引导学生从计数原理和计数模型的角度考虑一般情形. 在使用二项式定理证明或处理与组合数的性质有关的问题中, 应当控制问题的难度, 减少繁杂的问题. #### 三、参考答案或提示 ##### 6.1 乘法原理与加法原理 ### 练习 ${6.1}\left( 1\right)$ 1. 12. 2. 81. ### 练习 ${6.1}\left( 2\right)$ 1. 10. 2. 11. 习题 6.1 A 组 1. 81 . 2. 12. 3. 260. 4. 195. 5.96 . 6.60. B 组 1.24. 2.11. 3.40. 4. $\left( {\alpha + 1}\right) \left( {\beta + 1}\right) \left( {\gamma + 1}\right)$ . #### 6.2 排列 ### 练习 6.2(1) 1. ${ab},{ac},{ad},{ae},{bc},{bd},{be},{cd},{ce},{de},{ed},{ec},{eb},{ea},{dc},{db},{da}$ , ${cb},{ca},{ba}.$ 2. 12. 练习 6.2(2) 1. (1) 120. (2) 24. (3) 72. 2. (1) 1440. (2) 5760. 练习 ${6.2}\left( 3\right)$ 1. 15. 2. 提示: 把 $n + 1$ 个元素进行全排列,有 ${\mathrm{P}}_{n + 1}^{n + 1}$ 种排法,其中,编号为 $n + 1$ 的元素恰位于最后一个位置的排法有 ${\mathrm{P}}_{n}^{n}$ 种; 如果编号为 $n + 1$ 的元素不在最后一个位置上,那么它可以位于前 $n$ 个位置中的任意一个,最后一个位置上的元素编号可取 1, $2,\cdots , n$ 中的一个,即剩下的 $n - 1$ 个元素放置在余下的 $n - 1$ 个位置上. 由乘法原理即得结论. 习题 6.2 A 组 1.24; 12. 2.20. 3.22. 4.48. 5.400. 6. (1) 60. (2) 630. 7. D. 8. 4. 9. 8. B 组 1. 432. 2. 72. 3. 504. 4. 144. 5. 261273600. 6. 240. #### 6.3 组合 练习 6.3(1) 1. (1) $\{ a, b\} ,\{ a, c\} ,\{ a, d\} ,\{ a, e\} ,\{ b, c\} ,\{ b, d\} ,\{ b, e\} ,\{ c, d\} ,\{ c, e\} , \; \{ d, e\}$ ; (2) ${ab},{ba},{ac},{ca},{ad},{da},{ae},{ea},{bc},{cb},{bd},{db},{be},{eb},{cd},{dc}$ , ${ce},{ec},{de},{ed}.$ 2. $\bigtriangleup {ABC},\bigtriangleup {ABD},\bigtriangleup {ABE},\bigtriangleup {ABF},\bigtriangleup {ACD},\bigtriangleup {ACE},\bigtriangleup {ACF},\bigtriangleup {ADE}$ , $\bigtriangleup {ADF},\bigtriangleup {AEF},\bigtriangleup {BCD},\bigtriangleup {BCE},\bigtriangleup {BCF},\bigtriangleup {BDE},\bigtriangleup {BDF},\bigtriangleup {BEF},\bigtriangleup {CDE}$ , $\bigtriangleup {CDF},\bigtriangleup {CEF},\bigtriangleup {DEF}$ . 练习 ${6.3}\left( 2\right)$ 1. 477870. 2. (1) 3. (2) 36. 练习 6.3(3) 1. (1)1 或 3. (2) 6. 2. ${\mathrm{C}}_{n + 4}^{n}$ . 习题 6.3 A 组 1. 40. 2. (1) 8 568. (2) 991 200. 3. 30. 4. (1) 58409520. (2) 6275430. (3) 64684945. 5.60. 6.24. 7. (1) 4, 7, 11. (2) 124. 8.3 或 7. 9. 提示: 可以将待征的等式变形为 $\left( {n + 1}\right) {\mathrm{C}}_{n}^{m} = {\mathrm{C}}_{n + 1}^{m + 1}\left( {m + 1}\right)$ ,其左边是“先从 $n + 1$ 个不同元素中选出 1 个,再从余下的 $n$ 个元素中选出 $m$ 个”的方法数,而其右边是 “先从 $n + 1$ 个不同元素中选出 $m + 1$ 个,再从这 $m + 1$ 个元素中选出 1 个”的方法数. ### B 组 1.36. 2. 提示: 由于 2 个球都是红球的取法数为 ${\mathrm{C}}_{m}^{2},2$ 个球颜色不同的取法数为 ${mn}$ , 因此 $\frac{{\mathrm{C}}_{m}^{2}}{m} = \frac{m - 1}{2}$ 是 $n$ 的倍数,从而是整数,所以 $m$ 是奇数. 3. 165. 4. 2174 . 5. ${\mathrm{C}}_{n + 1}^{4}$ . #### 6.4 计数原理在古典概率中的应用 练习 6.4 1. $\frac{4}{15}$ . 2. $\frac{14}{15}$ . 习题 6.4 A 组 1. $\frac{1}{9}$ . 2. $\frac{3}{5}$ . B 组 1. $\frac{7}{10}$ . 2. $\frac{44}{45}$ . 3. $\frac{1}{15}$ . #### 6.5 二项式定理 练习 6.5(1) 1. (1) ${x}^{8} - 8\sqrt{2}{x}^{7}y + {56}{x}^{6}{y}^{2} - {112}\sqrt{2}{x}^{5}{y}^{3} + {280}{x}^{4}{y}^{4} - {224}\sqrt{2}{x}^{3}{y}^{5} + {224}{x}^{2}{y}^{6} - \; {64}\sqrt{2}x{y}^{7} + {16}{y}^{8}.$ (2)-220. (3)-672. (4) $- {15504}{x}^{30}$ . 2. 略. 练习 ${6.5}\left( 2\right)$ 1. (1) 0. (2) ${3}^{n}$ . 2. (1) ${672}{x}^{5}$ . (2) ${560}{x}^{4}$ . 习题 6.5 A 组 1. $- {160}{x}^{3}$ . 2. 252. 3. 10. 4. $7{x}^{5}$ 和 $7{x}^{6}$ . 5. $(0,\sqrt{2}\rbrack$ . B 组 1. 180. 2. ${489888}{x}^{4}$ . 3. $m = 5, n = 6$ 或 $m = 6, n = 5$ . 4. 提示: 我们知道, $A = \frac{1}{2}\left\lbrack {{\left( 1 + x\right) }^{n} + {\left( 1 - x\right) }^{n}}\right\rbrack , B = \frac{1}{2}\left\lbrack {{\left( 1 + x\right) }^{n} - {\left( 1 - x\right) }^{n}}\right\rbrack$ , 由此即得 ${A}^{2} - {B}^{2} = \frac{1}{4}\left\lbrack {4{\left( 1 + x\right) }^{n}{\left( 1 - x\right) }^{n}}\right\rbrack = {\left( 1 - {x}^{2}\right) }^{n}$ . ### 复习题 A 组 1. 150. 2. 96 . 3. 144. 4. 10. 5. 10. 6. 41 . 7.5. B 组 1. 192. 2. 150 . 3. 420. 4. (1) 3 720. (2) 720. (3) 144. (4) 720. 5. (1) 115. (2) 186. 6. (1) ${2}^{100}$ . (2) $\frac{1}{2}\left\lbrack {{\left( 2 - \sqrt{3}\right) }^{100} - {\left( 2 + \sqrt{3}\right) }^{100}}\right\rbrack$ . (3) 1. 7.7. ### 拓展与思考 1. 130. 2. 提示: ${\left( 2 + \sqrt{5}\right) }^{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\mathrm{C}}_{n}^{k}{2}^{n - k}{\left( \sqrt{5}\right) }^{k},{\left( 2 - \sqrt{5}\right) }^{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\left( -1\right) }^{k}{\mathrm{C}}_{n}^{k}{2}^{n - k}{\left( \sqrt{5}\right) }^{k}$ ,从而它们的差是 $2\mathop{\sum }\limits_{{s = 0}}{\mathrm{C}}_{n}^{{2s} + 1}{2}^{n - \left( {{2s} + 1}\right) }{\left( \sqrt{5}\right) }^{{2s} + 1}$ ,因此命题成立.